Παρασκευή, 3 Απριλίου 2009

Βασικές αρχές γεωμετρικής οπτικής


ΦΑΚΟΙ
Καθε οπτικο μεσο,διαφανες,ομογενες και ισοτροπο ,που τελειωνει σε δυο σφαιρικες ή μια σφαιρικη και μια επιπεδη επιφανεια λεγεται φακος.
Χωριζονται δε, σε δυο μεγαλες κατηγοριες:
Tους συγκλινοντες και τους αποκλινοντες.
Συγκλινοντες φακοι
Οταν πεφτει πανω τους μια δεσμη παραλληλων ακτινων ,συγκλινει προς ενα σημειο.Ειναι λεπτοτεροι στα ακρα.
Αποκλινοντες φακοι
Οταν πεφτει πανω τους μια παραλληλη δεσμη,αυτη αποκλινει δηλαδη "ανοιγει".Ειναι παχυτεροι στα ακρα.
-------------------------
Για να μελετηθουν καλυτερα,ειναι δυνατον να θεωρηθουν ως πολυπρισματα.
Τα περι ανακλασης -διαθλασης και λοιπα καπου τα εχουμε ξανασυζητησει νομιζω...
Οι φακοι συμπεριφερονται ως συγκλινοντες- αποκλινοντες μονο οταν το οπτικο μεσο που τους περιβαλλει ειναι αραιοτερο απο αυτους.Αν βρεθουν σε πυκνοτερο μεσο,αντιστρεφουν τη συμπεριφορα τους
.
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΩΝ ΦΑΚΩΝ
1)Κεντρο καμπυλοτητας
Το κεντρο της σφαιρικης επιφανειας καθε πλευρας του φακου.
Προφανως ,καθε φακος εχει δυο κεντρα καμπυλοτητας.Αν η μια επιφανεια του ειναι επιπεδη τοτε το κεντρο βρισκεται σε απειρη αποσταση απο αυτον.
2)Ακτινες καμπυλοτητας
Οι αντιστοιχες ακτινες.Φυσικα για επιπεδη επιφανεια,η ακτινα θεωρειται απειρη.
3)Κυριος αξονας
Η ευθεια που ενωνει τα δυο κεντρα καμπυλοτητας.Στη περιπτωση επιπεδης επιφανειας ειναι καθετος σ'αυτη, ενω φυσικα και διερχεται απο το ενα και μοναδικο κεντρο καμπυλοτητας.
4)Οπτικο κεντρο
Τη προσοχη σας παρακαλω!
Λοιπον,χωρις ιχνος ... ρατσιστικης διαθεσης θα αναγκαστω να προχωρησω σε παρουσιαση δυο ταχυτητων!
Μια πιο εποπτικη, πιο γενικη θα ελεγα,για οσους φιλους δε τους ενδιαφερουν και τοσο οι λεπτομερεις αναλυσεις ,αλλα και σε μια μαθηματικοποιημενη σε αρκετο βαθμο!
Το οπτικο κεντρο βρισκεται πανω στον κυριο αξονα αλλα οχι υποχρεωτικα μεσα στον ιδιο τον φακο!Για σκεφτειτε λιγο τα παραξενα σχηματα τους.
Εδω που τα λεμε,το κεντρο ... βαρους ενος δαχτυλιδιου δε βρισκεται εκτος της υλης του???
Καθε φωτεινη ακτινα που περναει απο το οπτικο κεντρο υφισταται μονο παραλληλη μετατοπιση!

5)Δευτερευοντας αξονας
Καθε ευθεια που περναει απο το οπτικο κεντρο αλλα ... δεν ειναι ο κυριος αξονας!
6)Κυρια εστια
Ειναι το σημειο του κυριου αξονα απο το οποιο διερχονται ολες οι ακτινες που πεφτουν στον φακο ,παραλληλα προς τον κυριο αξονα.
Φυσικα καθε φακος εχει... δυο κυριες εστιες.Που ισαπεχουν απο το οπτικο κεντρο.Tωρα αν δεν πεφτουν παραλληλα προς τον κυριο αξονα,ε τοτε εχουμε ενα σωρο ... δευτερευουσες εστιες.
7)Εστιακη αποσταση f
Ειναι η αποσταση του οπτικου κεντρου απο καθε κυρια εστια!
8 )Εστιακο επιπεδο
Ειναι καθετο στον κυριο αξονα.
Στο σημειο της κυριας εστιας.
Περιεχει -φυσικα την κυρια,αλλα και - ολες τις δευτερευουσες εστιες.
Ερωτηση:ποσα εστιακα επιπεδα εχει καθε φακος?
Απαντηση: δυο, αφου εχει δυο κυριες εστιες!

ΤΥΠΟΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΩΝ
Η εστιακη αποσταση f εξαρταται
α)απο τον σχετικο δεικτη διαθλασης
β)απο τις ακτινες καμπυλοτητας
Ο.Κ.
Ας ασχοληθουμε περισσοτερο με τους φακους που συνανταμε στα διοπτρικα τηλεσκοπεια.
Εδω,ο σχετικος δεικτης διαθλασης ισουται με τον δεικτη διαθλασης του γυαλιου μιας και ο φακος βρισκεται μεσα στον αερα(που εχει δεικτη διαθλασης 1)
Οι δε φακοι ειναι συγκλινοντες.
Για τις ακτινες καμπυλοτητας κατι:
Θεωρουνται θετικες για τις κυρτες επιφανειες και αρνητικες για τις κοιλες!
Τελικα καταληγουμε στη σχε
ση:



ΠOΡΕΙΑ ΑΚΤΙΝΩΝ ΣΕ ΛΕΠΤΟ ΦΑΚΟ
Οι λεπτοι φακοι ειναι ουσιαστικα μια ιδανικη περιπτωση φακων,οι οποιοι και εχουν πολυ μικρο παχος.
*Οι ακτινες που πεφτουν στον φακο ειναι κεντρικες δηλαδη απεχουν λιγο απο τον κυριο αξονα.
*Εχουν μικρη κλιση ως προς τον κυριο αξονα.Αυτο ειδικα μας εξυπηρετει μιας και δε χρειαζεται να σας υπενθυμισω οτι οι ακτινες φωτος απο ενα αστερι θεωρουνται παραλληλες μεταξυ τους αλλα και ως προς τον κυριο αξονα φυσικα.
*Καθε ακτινα που διερχεται απο το οπτικο κεντρο δεν υφισταται απολυτως καμμια μετατοπιση.
Ποια ακριβως ειναι η πορεια των ακτινων τωρα
H ακτινα (1) ειναι παραλληλη προς τον κυριο αξονα.
Αρα θα διελθει απο την κυρια εστια
Η ακτινα (2) διερχεται απο την κυρια εστια αρα η διαθλωμενη θα ειναι παραλληλη προς τον κυριο αξονα
Μολις περιεγραψα δυο αντιστροφες πορειες!
Η ακτινα (3) περναει απο το οπτικο κεντρο και συνεχιζει ανεπηρεαστη
Η ακτινα (4) ειναι μια τυχαια ακτινα!
Απο που θα διελθει ?
Μα φυσικα απο μια δευτερευουσα εστια Ε'!
Εδω οφειλω μια διευκρινηση για τις δευτερεουσες εστιες:
Ειναι οι εστιες στις οποιες συγκλινουν ακτινες που κινουνται παραλληλα προς ενα δευτερευοντα αξονα!
Μη φοβηθειτε!
Ξαναδιαβαστε παλι τα στοιχεια των φακων...
ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΟΥ ΕΙΔΩΛΟΥ ΕΝΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ
Τοποθετουμε ενα αντικειμενο ΑΒ ,με το Α πανω στον κυριο αξονα.
Αρα το ειδωλο του α δηλαδη το Α' θα βρισκεται επισης πανω στον κυριο αξονα.Μενει λοιπον να υπολογισουμε το ειδωλο του Β,ωστε να εχουμε βρει το Α'Β'...
Το αντικειμενο ΑΒ εχει τοποθετηθει αριστεροτερα(περα) απο την εστια Ε.
Συμβολιζω με π την αποσταση αντικειμενου-φακου και με π' την αποσταση ειδωλου-φακου
Γραμμικη μεγεθυνση:οριζεται ως ο λογος των μεγεθων ειδωλου-αντικειμενου


Ας πειραματιστουμε λιγο με τις πιθανες θεσεις του αντικειμενου.
Εστω οτι βρισκεται πανω στην κυρια εστια Ε
Τοτε π=f αρα π'=απειρη!
Δηλαδη ουσιαστικα δεν υπαρχει ειδωλο!

Τοποθετουμε τωρα το αντικειμενο αναμεσα στη κυρια εστια και στο οπτοκο κεντρο.
Αρα π<0 style="font-weight: bold;">αρνητικη

Εχουμε ενα ορθιο και φανταστικο ειδωλο!
Προφανως και λεγεται φανταστικο γιατι σχηματιζεται στην ιδια μερια του φακου που βρισκεται και το αντικειμενο.
ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ
Eνα φανταστικο αντικειμενο μπορει να δημιουργηθει κατα τη προσπτωση μιας συγκλινουσας δεσμης σε συγκλινοντα φακο.
Αν και η επισημανση του συγκλινοντα χαρακτηρα του φακου ειναι μαλλον περιττη,μιας και μονο με τετοιους ασχολουμαστε.
Οι ακτινες (1) και (2) οριοθετουν την συγκλινουσα δεσμη.
Οι νοητες προεκτασεις αυτων,δημιουργουν το φανταστικο αντικειμενο ΑΒ.
Οι συγκλισεις των (1) και (2) τεμνομενες δημιουργουν το ειδωλο Α'Β' του φανταστικου αντικειμενου ΑΒ.
Οι (3) και (4) ειναι ουσιαστικα οι ακτινες οι οποιες θα εδιναν το ειδωλο αυτο προερχομενες απο πραγματικο αντικειμενο.

ΙΣΧΥΣ ΦΑΚΟΥ
Ως ισχυς P ή αν προτιματε συγκεντρωτικη ικανοτητα φακου οριζεται το αντιστροφο της εστιακης αποστασης του.
Αρα ουσιαστικα ,ο τυπος των κατασκευαστων που προαναφερθηκε,δινει την ισχυ του φακου.
Την ισχυ των συγκλινοντων φακων τη παιρνουμε ως θετικη.
Τη μετραμε δε σε διοπτριες (dp)
Απο τί εξαρταται ?
1)απο τις ακτινες καμπυλοτητας
2)απο το υλικο απο το οποιο ειναι κατασκευασμενος
3)απο το μηκος κυματος της προσπιπτουσας ακτινοβολιας (διασκεδασμος! το θυμαστε?)

ΟΜΟΑΞΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΦΑΚΩΝ
Ειναι πολυ απλο και προβλεψιμο.
Δυο ή περισσοτεροι φακοι με κοινο κυριο αξονα απαρτιζουν ενα ομοαξονικο συστημα φακων!
Προχωραμε με την απλουστερη δυνατη περιπτωση, δυο φακων δηλαδη,αλλα με διαφορετικες εστιακες αποστασεις,ωστε να γινει πιο ευκολα κατανοητο το σκεπτικο μας.
Aς το δουμε με ενα αριθμητικο παραδειγμα!!!
Εχουμε ενα αντικειμενο ΑΒ,υψους 2cm,που βρισκεται σε αποσταση π=300cm απο φακο με εστιακη αποσταση f1=100cm.
Σε αποσταση d=120cm βρισκεται αλλος ομοαξονικος συγκλινοντας φακος με εστιακη αποσταση f2=60cm.
Θα επιχειρησουμε να υπολογισουμε τη θεση,το ειδος και το μεγεθος του τελικου ειδωλου!

Ο πρωτος φακος θα εδινε ειδωλο Α1Β1,αν δεν υπηρχε ο δευτερος φακος.
Αρα το Α1Β1 ειναι πραγματικο ειδωλο για τον πρωτο φακο και φανταστικο αντικειμενο για τον δευτερο φακο!Ο οποιος και μας δινει πραγματικο ειδωλο Α2Β2.
Προσοχη: οι ακτινες (1) και (2) ειναι οι υποθετικες ακτινες που ΘΑ διναν το Α2Β2 αν το Α1Β1 ηταν πραγματικο αντικειμενο!!!

ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΤΩΝ ΦΑΚΩΝ
Αναμενομενο ηταν να υπαρχουν.
Μαλλον το αντιθετο θα μας προκαλουσε εκπληξη.
Οι εξισωσεις των φακων αλλωστε ,ισχυουν,αλλα υπο προυποθεσεις
α)ο φακος να ειναι λεπτος
β)το φως να ειναι μονοχρωματικο
γ)ο δεικτης διαθλασης του φακου ειναι μεγαλυτερος του περβαλλοντος υλικου
Αλλα ας τα δουμε με τη σειρα.
Μαζι και τους πιθανους/δυνατους τροπους διορθωσης
.
Σφαιρικη εκτροπη
Οι ακτινες οι οποιες προσπιπτουν σε σημεια του φακου που βρισκονται κοντα στη περιφερεια του ,υφιστανται μεγαλυτερη εκτροπη και εστιαζουν πιο κοντα στον φακο.Σαν να μικραινει δηλαδη η εστιακη αποσταση!!!
Σφαλμα που οφειλεται στο παχος των φακων.
Προφανως,οσο πιο λεπτος ειναι ο φακος τοσο μικροτερο ειναι και το σφαλμα.
Ψαχνοντας διαπιστωσα οτι :
αλλοι προτεινουν τη χρηση ενος διαφραγματος που θα επιτρεπει τη διελευση μονο των ακτινων που βρισκονται κοντα στον κυριο αξονα (και παει περιπατο η φωτοσυλλεκτικη ικανοτητα!), αλλοι προτεινουν τη χρηση συστηματος φακων.
Μερικοι κατασκευαστες προτεινουν φακους μεταβλητης ακτινας καμπυλοτητας...


Χρωματικη εκτροπη
Προκειται για το πιο αγαπημενο μας σφαλμα!
Αποτελει συχνα αντικειμενο μακροσκελεστατων αναλυσεων απο μερους των αστροπαρατηρητων καθε επιπεδου
Η εξηγηση του παντως ειναι απλη.
Ο δεικτης διαθλασης του γυαλιου εχει μεταβλητη τιμη.
Το φαινομενου του διασκεδασμου που λεγαμε.
Εχει μεγαλυτερες τιμες για το ιωδες απ'οτι για το ερυθρο.
Ετσι και η εστιακη αποσταση για το ιωδες ειναι μικροτερη απο την εστιακη του ερυθρου.Δηλαδη ,οι ιωδεις εστιαζονται κοντα ενω οι ερυθρες μακρυα.
Να μη το συγχεουμε με τη σφαιρικη εκτροπη,εκει δεν αναλυονται χρωματα!
Διορθωνεται, χωνοντας βαθεια το χερι στη τσεπη,χτυπωντας κι ενα αστροδανειο απο την SexezoumisaBank και αγοραζοντας ενα Televue ,ενα Takahashi ,ενα Μitsubishi,ενα Kawasaki (ναι,τα 2 κι 70 οπου θες δικε μου!!!)κατι τετοιο τελοσπαντων...,τί,πώς,απαγορευεται η πλακα;καλα ρε, πήγατε και ψηφισατε στο δημοψηφισμα να τα μαζεψω και να φυγω;παμε καλα;;;
Τεσπα, διορθωνεται με διαταξη ομοαξονικων φακων,ενος συγκλινοντος κι ενος αποκλινοντος ,κατασκευασμενους μαλιστα απο διαφορετικο υλικο ωστε ο ενας να αντισταθμιζει τις χρωματικες εκτροπες του αλλου

Αστιγματικη εκτροπη
Εμφανιζεται οταν οι προσπιπτουσες ακτινες σχηματιζουν μεγαλη γωνια με τον κυριο αξονα.
Τοτε αντι για ενα ωραιο σημειακο ειδωλο εχουμε δυο γραμμικα ειδωλα ασυμβατα καθετα μεταξυ τους και μετατοπισμενα πανω απο τον κυριο αξονα.
Δυο ακομη σφαλματα ειναι η καμπυλοτητα πεδιου και η διαστροφη των ειδωλων.
Μας απασχολουν αυτα ως ερασιτεχνες αστροπαρατηρητες?
Ως αστροφωτογραφους????

-------------------------------------------------------------------------------------------------
ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΠΤΡΑ
Ολη η μεχρι τουδε φασαρια,για την αστρονομικη διοπτρα εγινε!
Προσωπικα ειχα βαρεθει να χρησιμοποιω κατι για το οποιο ουσιαστικη αντιληψη της λειτουργιας του δεν ειχα!!!
Αποτελειται απο δυο ομοαξονικους φακους.
Ειναι και οι δυο συγκλινοντες.
Ο αντικειμενικος εχει μεγαλη εστιακη αποσταση ενω ο προσοφθαλμιος εχει μικρη εστιακη αποσταση.
Το προς παρατηρηση αντικειμενο θεωρειται οτι βρισκεται στο απειρο.
fα=εστιακη αποσταση αντικειμενικου
fπ=εστιακη αποσταση προσοφθαλμιου
Σημειωση
Οπως θα εχετε προσεξει,αντικαθιστω τις εφαπτομενες με τους λογους!
Οντως,για μικρες τιμες γωνιας-οταν μετριεται σε ακτινια-αυτο ΙΣΧΥΕΙ!



Στη παραπανω θεωρηση δεν λαμβανεται υποψιν η αποσταση δ απο το ματι στην οποια σχηματιζεται το τελικο ειδωλο.Αυτο δεν ειναι κατι το οποιο μπορει να παραληφθει ελαφρα τη καρδια.
Ωστοσο επειδη δ=απειρο,στη προκειμενη περιπτωση δεν προκαλει ζημια,ουτε αφηνει κερκοπορτες στο συλλογισμο μας.
----------------------------------------------------------
Κι ενα μικρο μυστικο!
Επειδη οταν εστιαζουμε στο απειρο τοτε τα εστιακα επιπεδα αντικειμενικου και προσοφθαλμιου συμπιπτουν,η μεταξυ των δυο φακων αποσταση ισουται με το αθροισμα των εστιακων τους αποστασεων!!!
L=fα+fπ
Γι αυτο και οσο μικροτερο προσοφθαλμιο χρησιμοποιουμε τοσο "μαζευεται" ο εστιαστης!!!


ΚΑΤΟΠΤΡΑ
Ναι ,σιγα μη τα αφηνα!
Λοιπον φιλοι και συντροφοι
Τον πρωτο λογο εδω περα εχει το φαινομενο της ανακλασης.
Γωνια προσπτωσης=γωνια ανακλασης !!!
Δηλαδη διαθλασεις κ.λ.π. δεν εχουμε?
ΟΧΙ,τα κατοπτρα ειναι απο τη φυση τους ...αποχρωματικα!!!
Διακρινονται δε σε κοιλα-οταν η ανακλαση συμβαινει στην εσωτερικη τους επιφανεια- και σε κυρτα -οταν συμβαινει στην εξωτερικη!
Μερικα χαρακτηριστικα
1)C :το κεντρο καμπυλοτητας,δηλαδη το κεντρο της σφαιρικης επιφανειας κομματι της οποιας αποτελει η ανακλαστικη επιφανεια του κατοπτρου.
2)V : το γεωμετρικο κεντρο του κατοπτρου
3)CV : ο οπτικος αξονας
4)F : εστια του κατοπτρου.Ειναι το σημειο απο το οποιο διερχονται ολες οι φωτεινες ακτινες που κινουμενες παραλληλα μεταξυ τους αλλα και ως προς τον οπτικο αξονα,προσπιπτουν στην ανακλαστικη επιφανεια.
Προσοχη:μη συγχεετε την εστια με το κεντρο καμπυλοτητας!

ΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΔΩΛΟΥ ΣΕ ΚΑΤΟΠΤΡΑ
Η ακτινα (1) κινειται παραλληλα προς τον οπτικο αξονα.
Αρα διερχεται απο την εστια F.
Η ακτινα (2) χτυπα στην κορυφη και ανακλαται.
Η ακτινα (3) διερχεται απο την εστια.
Αρα κινειται παραλληλα προς τον οπτικο αξονα.
Αυτο το σχημα... προσεξτε το.
Περιττο να αναφερω οτι δυο ακτινες ειναι αρκετες...

ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΣΧΕΣΗ ΣΤΑ ΚΑΤΟΠΤΡΑ
Για τη μελετη αρκουν δυο μονο ακτινες:
Mια που να ανακλαται στη κορυφη του κατοπτρου
και μια που να διερχεται απο το κεντρο καμπυλοτητας...

ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΚΟΜΗΣ
Ο ΜΕΓΑΛΟΣ ΕΧΘΡΟΣ ΤΩΝ ΝΕΥΤΩΝΕΙΩΝ
Το βασικοτερο σφαλμα στα νευτωνεια τηλεσκοπεια ,η κυριαρχη εκτροπη!, ειναι το off-axis coma,το φαινομενο της εκτροπης στα εκτος οπτικου αξονος σημεια.Στα σημειακα ειδωλα των αστερων προστιθεται μια φωτεινη ελλειψοειδης εκτροπη ,με κατευθυνση προς το κεντρο της εικονας,προς τον οπτικο αξονα δηλαδη.Το φαινομενο ειναι εντονοτερο στα "γρηγορα" τηλεσκοπεια,μικρου εστιακου λογου.Προφανως δηλαδη το σφαλμα θα ειναι πιο εμφανες σένα f/5 παρα σ'ένα f/10.Επισης ,οσο πιο μακρυα απο το κεντρο της εικονας βρισκεται ενα σημειο,τοσο εντονοτερα υποπιπτει στο σφαλμα κομης.
Το πρωτευον κατοπτρο των Νευτωνειων τηλεσκοπειων ειναι παραβολικο.Η παραβολικη επιφανεια ειναι η μονη γεωμετρικη επιφανεια η οποια μπορει να αναγκασει σε σημειακη συγκλιση μια παραλληλη δεσμη ακτινων.
Η διαθλαση βεβαια των ακτινων κατα την εισοδο στην ατμοσφαιρα (και κατα τη κινηση τους μεσα σ'αυτη) καθως και οι ατμοσφαιρικες διαταραχες (atmospheric turbulence) σαφως και θετουν καποια ορια.Αυτο ομως ισχυει μονο οταν η προσπιπτουσα δεσμη κινειται παραλληλα προς τον οπτικο αξονα.
Aκολουθει μερος φωτογραφιας οπου το φαινομενο κομης ειναι εμφανεστατο!