Πέμπτη, 5 Μαρτίου 2009

Αρκαδία - η καλύτερη εποχή για να ζεις...


"Με κανει τοσο ευτυχη.Να βρισκομαι παλι στην αρχη, να μη γνωριζω σχεδον τιποτα...
Μια τετοιου ειδους πορτα ανοιχτηκε μπροστα μας πεντ-εξη φορες απο τοτε που σταθηκαμε στα πισω μας ποδια.
Η καλυτερη εποχη για να ζεις ειναι οταν σχεδον ολα οσα ξερεις ειναι ΛΑΘΟΣ"

Tom Stoppard, Arcadia, πραξη 1η, σκηνη 4η
Ο Robert May σημειωνει οτι το εργο του Stoppard αποτελει τον καλυτερο ισως συνδυασμο τριων θεματων, τριων προσεγγισεων ή αν προτιματε τριων μονο κομματιων ενος παζλ, πολυ λιγων αριθμητικα σε πρωτη θεωρηση, ικανων ομως να δωσουν ενα λαμπρο προμηνυμα του δεους που θα προκαλεσει η τελειοτητα της ομορφιας της συνολικης εικονας.
Πρωτο κομματι του παζλ: η καλλιτεχνικη κηπουρικη
Δευτερο κομματι του παζλ: η εννοια της πολυμαθειας κατα Byron
Τριτο κομματι του παζλ: η εννοια του χαους.

Οι ηλεκτρονικοι την αποκαλουν αναδραση, οι μαθηματικοι την αποκαλουν λογιστικη απεικονιση -ενω πολυ θα ηθελαν να την αποκαλεσουν εξισωση-
οι περισσοτεροι απο τους υπολοιπους μαζι με τους βιολογους την αποκαλουν ανατροφοδοτηση.
"αυτο που κανεις ειναι καθε φορα ειναι να υπολογιζεις μια τιμη του χ που θα τη χρησιμοποιησεις σαν αρχικη στον επομενο υπολογισμο σου.
Τροφοδοτεις τη λυση ξανα και ξανα στην εξισωση και τη ξαναλυνεις.
Επαναληπτικη διαδικασια, αν με καταλαβαινεις..."
Tom Stoppard's Arcadia

H Βρετανικη Οικολογικη Εταιρια ιδρυθηκε το 1913, μολις δυο χρονια πριν την αντιστοιχη Αμερικανικη Οικολογικη εταιρια.Μεχρι τα μεσα του προηγουμενου αιωνα - τί παραξενο αληθεια, ο εικοστος αιωνας να ειναι πια ο προηγουμενος- οι δημοσιευσεις τους αντανακλουσαν το υποβαθρο των ενασχολησεων τους, καθαρα περιγραφικος και ταξινομικος χαρακτηρας, επικεντρωμενος στις αποικιες των φυτων.Τα πρωτα ερωτηματα εμφανιστηκαν και προαιωνιζαν την συνταρακτικοτητα των επομενων...
"γιατι ορισμενοι πληθυσμοι εμφανιζουν περιοδικη μεταβλητοτητα, αλλοτε αυξανομενοι και αλλοτε ελαττουμενοι συν τω χρονω?"
Στην αρχη δεν χρειαστηκε χαρτι και μολυβι.Αλλωστε οι πληθυσμοι κοινωνιων που αποτελουνται μονο απο εναν θηρευτη και απο ενα θηραμα, ειναι λογικο να εχουν την ταση να ακολουθουν κυκλους.
Μερικοι θεωρητικοι βιολογοι ομως, οπως ο Robert Mc Arthur αρχισαν να συνδυαζουν τις εμπειρικες παρατηρησεις με τις καθαρα μαθηματικες προσεγγισεις.
Επιτελους, μια ξεκαθαρη στρατηγικη προσεγγισης των προβληματων που αντιμετωπιζαν οι βιολογοι, αρχιζε να διαμορφωνεται.

Καποιοι ανθρωποι ειναι πιο τυχεροι απο τους αλλους.Εχει να κανει με αυτο που αποκαλειται τυχερη ζαρια της ζωης.Τα πραγματα βεβαια δεν ειναι παντα οπως φαινονται, ενω εμφανιζεσαι ευννοημενος σε καποια θεματα, σε παμπολλα αλλα μπορει να εισαι πολυ πιο κατω απο τον μεσο ορο.Τελος παντων δεν ειναι αυτο το θεμα μας, ο καλος αναλυτης λοιπον οφειλει να χρησιμοποιει και τα δυο του ματια.Το ενα ματι εστιαζει ακριβως στο σημειο του προβληματος που επεξεργαζεται, ενω το αλλο του ματι, σταθερα καρφωμενο σε ολο το προβλημα δεν τον αφηνει να χαθει στο δασος.
Η πραγματικη δυσκολια ομως δεν βρισκεται εκει, βρισκεται στην εγγενη ανασφαλεια που εισαγει καθε φορα το ιδιο το προβλημα.
Το εχουμε ξαναπει αλλωστε, δυο ειδων προβληματα υπαρχουν: τα απλα και τα βαθεια...
Η λυση ενος απλου προβληματος ειναι καθαρα θεμα χρονου, πόσο θα μας παρει δεν εχει καμμια απολυτως σημασια. Απο τη στιγμη που ειμαστε σιγουροι οτι υπαρχει λυση
ειμαστε βεβαιοι οτι καμμια απολυτως προσπαθεια δεν θα παει χαμενη.Το προβλημα θα λυθει, η απαντηση θα δοθει, ακομη κιαν μερικες γενιες ερευνητων αναγκασθουν να ενσκυψουν σ'αυτο.
Το βαθυ προβλημα ομως ειναι κατι διαφορετικο.Ποτε δεν ξερεις αν υπαρχει η λυση που ψαχνεις, ποτέ δεν μπορεις να εισαι σιγουρος αν πλησιαζεις, πάντα θα σε συντροφευει η ανασφαλεια οτι μολις περασες διπλα της.

Οταν επιχειρεις να υπολογισεις την αποκλιση απο την ευθυγραμμη διαδοση μιας ακτινας φωτος λογω ισχυρου βαρυτικου πεδιου, δεν εχεις παρα να τροφοδοτησεις την εξισωση σου με ολο και ακριβεστερες τιμες των ποσοτητων που εμπλεκονται. σαν αποτελεσμα θα εχεις διαρκως ακριβεστερες απαντησεις στα ερωτηματα σου.
Οχι δεν χρειαζεται να μου υπενθυμισετε τον Heisenberg, δεν τον ξεχασα αλλωστε...


Η πορεια της επιστημονικης ερευνας θα μπορουσε να αποτελεσει απο μονη της το καλυτερο ισως αντικειμενο μελετης των θεωρητικων της επιστημης του χαους.
Ειναι πραγματικα συναρπαστικο να παρακολουθει κανεις εκ των υστερων τα πρωτα δειλα βηματα, τα πρωτα σκιρτηματα του νου, τον ενθουσιασμο το δεος και την αδημονια να ξεχυθει στα νεα ευφορα λιβαδια.
Το ξεκινημα δεν χρειαζεται να συνοδευεται παντα απο ρομαντισμο.Δεν υπαρχει τιποτε το ρομαντικο στον αριθμο των μυρμηγκιων γυρω απο μια φωλια, ουτε στον ρυθμο αναπαραγωγης του σολωμου ουτε φυσικα στον αριθμο των αγριοκατσικων που αγωνιζονται να επιβιωσουν σε μια ερημη βραχονησιδα.
Το σημειο που η καρδια αρχιζει να χτυπα πιο δυνατα σπρωχνοντας το αιμα με διαρκως μεγαλυτερη ταχυτητα στις φλεβες ειναι ακριβως εκεινο το σημειο που ο ερευνητης προχωρα στο παντρεμα δυο "διαφορετικων" επιστημονικων μεθοδων και διαπιστωνει οτι τα ερωτηματα τα οποια αδυνατει προς το παρον να απαντησει η μια μεθοδος κοσμουν με τις sine quoi non απαντησεις τους το επισημο φορεμα βραδυνης εξοδου της αλλης επιστημονικης μεθοδου.
Ετσι καπως θα πρεπει να ενοιωσαν οι βιολογοι, στα τελη της δεκαετιας του'60 οταν αποφασισαν να ζητησουν τη βοηθεια της λογιστικης απεικονισης στη μελετη της διακυμανσης του πληθυσμου διαφορων ειδων.
Ο ηρωας του Seppard στο Arcadia επιχειρει ακριβως αυτο.Ειναι η πρωτη φορα που το επιχειρει καποιος, τα αποτελεσματα προκυπτουν με κατακλυσμιαιους ρυθμους, η ανασα του κοβεται...
Ο Seppard ειχε δικιο.Για οσους αναμιχθηκαν στην υποθεση αυτη, η δεκαετια του '70 δεν ηταν παρα...

Τα πρωτα μοντελα περιγραφης του πληθυσμιακου αριθμου διαφορων βιολογικων κοινοτητων δεν ηταν παρα... σκιτσα!
Δεν υπαρχει τιποτε ασχημο σε ενα σκιτσο θα μου πειτε, τουναντιον μαλιστα, ολη η ψυχη του αντικειμενου ζυμωνεται σαν πηλος απο τα επιδεξια χερια του καλλιτεχνη.
Συμφωνοι, αλλα το σκιτσο δεν απεικονιζει την λεπτομερεια ουτε αποτελει απεικονιση της πραγματικοτητας.Το σκιτσο ειναι η πραγματικοτητα οπως ο καλλιτεχνης θα ηθελε να ειναι (γεια σου φιλε Πετρο!)
Οι πρωτες λοιπον εξισωσεις της πληθυσμιακης βιολογιας δεν αποτελουσαν παρα σκαριφηματα της πραγματικοτητας.Τα ακριβη ειδωλα που αποζητουν οι φυσικοι κι ακομη περισσοτερο ισως οι μαθηματικοι δεν υπηρχαν σ'αυτες.
Αυτο σε καμμια περιπτωση δε σημαινει οτι ηταν αχρηστες.
Δεν ηταν ομως αρκετες...
"Τα μαθηματικα χωρις φυσικη ιστορια χανουν την υποσταση τους.Η φυσικη ιστορια ομως χωρις μαθηματικα ειναι θολη" John Maynard Smith
Αυτο ακριβως επισημανε ο Smith στο κλασσικο πια εργο του "The Mathematical Ideas in Biology". Oτι οι πληθυσμοι των ζωων στις απομονωμενες κοινοτητες παραμενουν σε γενικες γραμμες σταθεροι, εμφανιζουν ωστοσο χαρακτηριστικη διακυμανση...

Δυο αντιπαλα στρατοπεδα, δυο διαφορετικες αποψεις για το ιδιο θεμα.
"Ο πληθυσμος εξαρταται απο καθαρα εξωγενεις παραγοντες.Το περιβαλλον ειναι ο ρυθμιστης, κατι που αποδεικνυουν περιτρανα οι κοινωνιες των εντομων με τη συμπεριφορα τους"
"Η πυκνοτητα του πληθυσμου αποτελει τον κρισιμο παραγοντα.Ο πληθυσμος δεν ενδιαφερεται για τον αριθμο του αλλα για την πυκνοτητα του.Την αυξανει οταν ειναι χαμηλη και τεινει να την μειωσει οταν αυτη παιρνει μεγαλες τιμες"

Καπου εδω ηρθε η λογιστικη απεικονιση να πληροφορησει τους εμπλεκομενους
οτι πολυ απλα
Προσεγγιζουν λαθος την ολη υποθεση.
"Το απροβλεπτο και το προκαθορισμενο ξεδιπλωνονται μαζι για να κανουν τα παντα οπως ειναι.
Ετσι η Φυση δημιουργει τον εαυτο της , σε ολες τις κλιμακες, απο τη νιφαδα του χιονιου μεχρι τη χιονοθυελλα" T.Seppard, Arcadia


Εστω λοιπον οτι εχουμε μια γυαλα με χρυσοψαρα.
Ο αγγλος οικονομολογος και ιερωμενος Τhomas Malthus προτεινει την εξης απλη προσεγγιση: ο πληθυσμος αυξανει αργα και σταθερα καθε χρονο.Τα αποθεματα τροφης ειναι απεριοριστα, οι φυσικοι εχθροι ανυπαρκτοι ενω το μεγεθος της γυαλας δεν μας ενδιαφερει.
Φτανουμε λοιπον σε μια γραμμικη εξισωση της μορφης ψ=α*χ η οποια και περιγραφει τον αριθμο των ψαριων, οπου α το ποσοστο αυξησης καθε χρονο.
Το χ περιγραφει τον αριθμο των ψαριων στην αρχη καθε ετους ενω το ψ στο τελος του.
Η εννοια της επανατροφοδοτησης με δεδομενα κανει αισθητη την παρουσια της, η εξισωση συνεχιζει να μας καλυπτει επ'αοριστον...
Τα πραγματα ομως διαφερουν αρκετα στη πραγματικη ζωη.Η γυαλα δεν ειναι απειρου ογκου, τα αποθεματα τροιφης δεν ειναι απεριοριστα και οι φυσικοι εχθροι υπαρκτοι.
Αυξηση του πληθυσμου σε μεγαλες τιμες δημιουργει προβληματα τροφης και χωρου ενω απο την αλλη καθιστα το συστημα ευαλωτο τοσο στη διαδοση ασθενειων οσο και σε επιθεσεις απο φυσικους εχθρους.Ενα τετοιο συμβαν -στην εξωγενη επιθεση αναφερομαι- θα προκαλουσε αυτοματα δραματικη μειωση του πληθυσμου της κοινοτητας.
Εδω καπου αρχιζει να γραφεται ιστορια.Τα κρατουντα μοντελα προσομοιωσης φανταζουν χαρακτηριστικα αδυναμα να περιγραψουν τί μελλει γενεσθαι.
Ελλειψει κρυσταλλινης σφαιρας, τα ηνια αναλαμβανει η λογιστικη απεικονιση...

Χκ+1 = α * Χ κ * (1- Χκ )
Κατα τη δεκαετια του '50 πρωτοχρησιμοποιηθηκε απο οικολογους με σκοπο να μελετησουν κοινοτητες ψαριων και εντομων.
Η ποσοτητα α παριστανει τον ρυθμο αυξησης που η τιμη του εξαρταται απο το περιβαλλον της στερνας.
Ενω ο παραγοντας 1-χ εξασφαλιζει οτι το Χκ+1 δεν αυξανει τοσο γρηγορα ωστε η τελικη τιλμη του να αποτελεσει προβλημα κατα την επανατροφοδοτηση.
Και μονο η προσεγγιση αλλωστε στην τιμη 1 θα δημιουργουσε προβλημα, μειωνοντας δραματικα τον πληθυσμο του επομενου ετους.
Αν φυσικα το Χ ξεπερασει την τιμη 1 , ο πληθυσμος εξαφανιζεται.
Οι ειδικοι προεβησαν στο εξης λαθος:
Eπιδιωξαν την ευρεση καταστασης ισορροπιας, την απαιτησαν θα μπορουσε να ειπωθει.Αναζητησαν το πεδιο τιμων του α που θα μπορουσε να εγγυηθει σταθεροτητα στον πληθυσμο.
Τί θα συμβει ομως αν το α παρει τιμες εξω απο το πεδιο αυτο?
Περισυλλογη, ετσι λεγεται η κατασταση στην οποια περιεπεσαν...
Οι πειραματισμοι αρχισαν.
"Τί τιμες θα δωσουμε στο α ?"
Για την τιμη 2.4 τα παντα προχωρουν κατ'ευχην.
Ο πληθυσμος αυξανεται στην αρχη με συμπεριφορα που θυμιζει εκθετικη συναρτηση και κατοπιν σταθεροποιειται στην τιμη Χ=0.6.
Ενας "κυματισμος" ο οποιος εμφανιζεται δεν δειχνει να μας ανησυχει.
Μονο ουτοπιστης θα προσδοκουσε εμφανιση σταθερης συναρτησης.

Για την τιμη 3.4 εμφανιζονται τα πρωτα ανησυχητικα δειγματα.
Η μεση τιμη του πληθυσμου παραμενει σταθερη αλλα η κυματωση ειναι πλεον εντονη.

Για α=3.99 το Χαος καθισταται πλεον εμφανες.Ο πληθυσμος αυξομειωνεται διχως να υπακουει φαινομενικα τουλαχιστον σε κανενα κανονα!
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Το χαμογελο αισιοδοξιας δεν απεικονιζει τιποτε αλλο παρα την πιστη μας στη διερευνηση των αρχεγονων κρατουντων νομων.
Η χαοτικη συμπεριφορα επαληθευεται γι ακομη μια φορα
απο το θεοστραβο σχημα μου που ακολουθει...
"ειμαστε πολυ καλυτεροι στην προβλεψη γεγονοτων στην ακρη του γαλαξια μας ή στο εσωτερικο του πυρηνα ενος ατομου
παρα στο αν θα βρεξει μετα απο δεκα μερες..." Arcadia.-

---------------------------------------------------------------------------------------
H λογιστικη απεικονιση ειναι μια απο τις προσεγγισεις μας που αλλαξαν τον ρου της επιστημονικης σκεψης.
Μεγαλη βοηθεια για την παρουσιαση ελαβα απο το βιβλιο του Graham Farmelo.